![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Беседа о теории относительности. Часть 5
Окончание, начало:
Часть 1
Часть 2
Часть 3
Часть 4
A: Хотелось бы коснуться еще нескольких моментов ОТО, которые часто приходится слышать: искривление пространства-времени, метрика, черные дыры и т.п. Поэтому попробую пояснить смысл этих терминов.
Кривизна пространства времени есть по существу проявление требования локальности для ИСО. Т.е. в каждой соседней точке отсчета мы должны выбирать свою ИСО и эти ИСО двигаются по разному, т.к. гравитационное поле неоднородно. Но описывать явления через бесконечно большое количество маленьких ИСО крайне неудобно. Хотя в каждой такой ИСО пространство-время является пространством Минковского, которое не имеет кривизны. Поэтому хотелось бы ввести некую более-менее глобальную систему координат, которая бы позволяла описывать явления, которые не ограничены размерами локальной ИСО. Собственно, ОТО и решает эту задачу, опираясь на принцип эквивалентности. Т.е. ОТО использует НЕинерциальные СО и произвольные системы координат (напомню, что под координатами везде и всюду понимаются три пространственные и одна временная). Тут абсолютному пространству и абсолютному времени приходит окончательный конец. Законы природы формулируются в таком виде, что бы их можно было использовать в любой СО с любой системой координат.
Давайте остановимся на том, что есть кривизна. Будем рассматривать поверхности, т.к. вообразить трех или четырех мерное искривленное многообразие достаточно трудно. Давайте разберем, что такое плоское, а что такое кривое. Решение этой проблемы связано с именами Эвклида, Гаусса, Лобачевского, Римана. Эвклид создал давно-давно свою геометрию, да еще как создал – она на протяжении тысяч лет являлась примером для подражания при построении дедуктивных систем. Среди всех положений Эвклида, которые лежат в основе его геометрии и не требуют доказательств, выделялся постулат о параллельных. Этот постулат можно сформулировать разным способом: "к данной прямой через точку вне этой прямой можно провести только одну параллельную прямую" или "если две прямые пересекают третью под одним и тем же углом, то они параллельны, т.е. не пересекаются)" или "сумма углов треугольника равна двум прямым (180 градусов)" и т.д. Этот постулат в любой формулировке в отличие от других не выглядит интуитивно понятным. Поэтому многие математики пытались его доказать, но у них ничего не получилось. Лобачевский отвергнул его, положив, что "к данной прямой через данную точку можно провести много параллельных", или, что тоже самое "сумма углов треугольника меньше двух прямых". Риман отвергнул его в другую сторону: "к данной прямой невозможно провести ни одной параллельной" или "сумма углов треугольника больше двух прямых". Оба построили законченную геометрию. В трехмерном пространстве легко представить себе поверхности, на которой будут выполняться эти три геометрии, рис.15. Геометрия Эвклида реализуется на плоской поверхности, рис.15а. Геометрия Римана на поверхности с положительной кривизной (выпуклой), рис.15b. Геометрия Лобачевского – на поверхности с отрицательной кривизной (седло), рис.15c. В этом всякий может легко на опыте убедиться. Особенно легко с выпуклой поверхностью: берем мячик или глобус и начинаем рисовать на нем треугольники и параллельные прямые.
Рис.15. Треугольники на поверхностях разной кривизны.
Остался еще один маленький вопрос: что такое прямая на кривой поверхности (или в кривом пространстве). Ответ: эта линия соединяющая по кратчайшему пути две точки. Возьмите глобус, на нем две точки и натяните между ними нитку: эта нитка и будет прямой на сфере. Меридианы и экватор являются прямыми на глобусе, параллели – уже не являются. (Параллели вроде бы параллельны, но они не прямые, т.к. не соединяют две точки по кратчайшему пути). О прямой на кривой поверхности говорить как-то неудобно, поэтому термин "прямая" обычно заменяют термином геодезическая.
На рис.15 поверхности разной кривизны изображены как бы снаружи, с точки зрения трехмерного пространства. А можно ли определить кривизну не выходя за пределы того, кривизну чего мы хотим определить. Вполне можно. Опять рассмотрим примеры кривой поверхности (т.е. двухмерного объекта, т.к. при большем числе измерений все усложняется, хотя суть дела остается той же). Рассмотрим Землю. Возьмем 4 города: Мурманск, Афины, Томск, Казань. Определим расстояния между ними (по геодезическим, естественно). Построим 3 треугольника на плоском листе бумаги, рис.16. Убедимся, что не получается: какой-либо город оказывается в двух местах. Вывод: Земля не плоская. Впрочем, этот вывод был сделан давно, и для этого совсем не понадобилось лететь в космос и смотреть на Землю извне. Но если мы возьмем города поближе, то треугольники совпадут гораздо лучше. Поэтому на малых масштабах поверхность Земли можно считать плоской. Сразу виден аналог с локальными СО, и здесь и там плоская геометрия наблюдается только локально в малой области.
Рис.16. Треугольники между городами.
Какое же отношение все это имеет к ОТО. Возьмем СО, связанную с телом, которое находится далеко от источников тяготения. В этой ИСО все свободные тела (т.е. те, на которые не действуют силы) двигаются согласно закону инерции и бесчисленным опытным данным равномерно и прямолинейно. Прямолинейно означает, что они двигаются по прямой в обычном трехмерном пространстве, а равномерно означает, что они еще и двигаются по прямой в четырехмерном пространстве-времени. Т.е. тела двигаются по геодезическим в пространстве Минковского.
Перейдем теперь в поле тяготения. В ОТО показано, что тела продолжают двигаться в пространстве-времени по геодезическим, но эти геодезические уже не являются прямыми, поэтому пространство-время искривлено. Как и в случае с поверхностью Земли, в малых масштабах в области локальной ИСО пространство плоское. Но глобально пространство время кривое. Таким образом, мы воспринимаем свободное движение тел в неплоском пространстве-времени как тяготение. Объяснение тяготения свойством пространства-времени очень плодотворно. Это сразу приводит к независимости движения от массы тела. Действительно, все равно, какая масса тела – любое тело свободно движется по геодезической. И это выполняется как в ИСО свободной от тяготения, так и в локальной ИСО, связанной с каким либо свободно движущимся телом, так и в произвольной СО. Только в первых двух случаях пространство-время плоское и геодезические есть прямые, а в третьем случае пространство-время искривлено.
Наличие кривизны у поверхности Земли в принципе можно померить. Однако, по расчетам радиус этой кривизны составляет около одного светового года, т.е. в 1.5 млрд. раз больше радиуса Земли. Измерить такую малую кривизну практически невозможно.
Приведу еще один пример, достаточно условный, но иллюстрирующий, как геометрия может влиять на движение. Возьмем плоскость и запустим на ней два тела параллельно друг другу. Они так и будут продолжать свободно двигаться по параллельным траекториям, рис.17a. Возьмем опять поверхность сферы, и проделаем тот же опыт, рис.17b. И вдруг обнаружим, что тела начинают приближаться друг к другу. Это можно интерпретировать как возникновение притяжения между ними.
Рис.17. "Параллельное" движение на поверхностях разной кривизны.
Таким образом, ОТО, перейдя от локальных ИСО к глобальному описанию, получила искривленное пространство-время, в котором все тела движутся по кратчайшим расстояниям, т.е. геодезическим. Локально всегда можно выбрать ИСО с плоским пространством Минковского.
Б: В принципе сам принцип кривизны мне понятен, как я понял он является прямым следствием выбора локальных систем координат, потому что если бы не было кривизны, то и необходимости в локальных системах и не было.
A: Совершенно верно. Два плоских пространства можно совместить глобально. Кривое и плоское – только локально. Это легко проверить, возьмите лист бумаги – его можно глобально (весь) совместить с другим листом, а совместить с шаром можно только в точке или линии (если изогнуть), т.е. локально.
Б: Но ведь само понятие кривизны было сформулировано после требования локальности? Я его вижу как следствие.
A: В какой-то мере – да. Требование локальности будет выполняться и в случае глобальных СО. То, что действительно не удается построить глобальные ИСО и есть свидетельство кривизны.
Посмотрим еще раз на рис.14. Видно, что требование локальности связанно с разным направлением действия силы тяготения в разных местах. В идеале требование локальности приводит к тому, что локальная ИСО должна иметь бесконечно малые размеры. Но на практике используют конечные ИСО, пренебрегая малыми отклонениями от плоскостности. Также, как мы, рассматривая ограниченные участки Земли, пренебрегаем ее шарообразной формой и считаем их плоскими.
Если же мы будем рассматривать ИСО вдали от крупных масс, где нет сил тяготения – то эта система может быть очень-очень большой. Чем меньше искривлено пространство-время, тем больше могут быть размеры локальной ИСО, когда эффекты кривизны не сказываются.
A: Иногда думают, что пространство Минковского и тем более кривое пространство-время ОТО это некие чисто математические абстракции, которые просто удобны для физико-математической формулировки некоторых законов природы. Это не так. Собственно пространство образуется различными расстояниями, которые измеряются с помощью различных измерительных приборов: линеек, по времени распространения ЭМ волн и т.д. Время – это различные длительности, измеряемые часами разного устройства, т.е. не что иное, как, определенное число некоторых изменений. Под измерениями понимается не только и не столько сознательные действия наблюдателя, но в основном просто природные процессы, связанные с различными соотношениями между расстояниями и длительностями. Например, Земля и Марс вращаются вокруг Солнца. Соотношение между их расстояниями до Солнца так же, как и соотношение между периодами их обращения имеет место быть независимо от того измеряет их кто-нибудь или нет.
Когда говорят, что время в ТО замедляется, то это опять-таки не просто математический трюк. Это означает, что одни часы идут медленнее, чем в точности такие же. Продольные расстояния уменьшаются - тоже означает, что измерение тем же способом расстояния будут давать меньшее значение. Казалась бы, ну в чем проблема: какие-то результаты измерений расстояний поменялись, а какие-то часы замедлились. Почему все остальное должно зависеть от результатов этих измерений? А вот почему. В основу ТО положено следующее утверждение: ВСЕ законы природы ОДИНАКОВЫ во всех ИСО (поэтому и нельзя указать абсолютную ИСО, поэтому можно выбрать любую ИСО и рассматривать любые процессы относительно ее). Этот положение пока никем экспериментально не опровергнуто. Но что получается, пусть у нас замедлились какие-то часы. Все остальные часы, неподвижные относительно данных также должны пропорционально замедлиться. Напомню, что часы – это любой процесс изменений во времени, в том числи и, например, старение организма. Если бы такого синхронного замедления всех процессов не происходило, то это бы автоматически привело бы к неодинаковости законов в различных ИСО и позволило бы придумать (и осуществить) эксперименты по установлению абсолютной СО, типа таких, которые проводились с целью определения скорости Земли относительно эфира.
Аналогичная ситуация происходи и с сокращением длины. Не просто длина какого-то стержня сокращается, все длины изменяться пропорционально. В искривленном пространстве-времени все также: часы идут по-разному, измерения расстояний (четырехмерных!) приводит к тому, что теоремы плоской геометрии не выполняются.
В четырехмерном пространстве-времени точка обозначает не точку в пространстве, а событие, т.е., что нечто произошло в данном месте в данное время. Расстояние между двумя событиями, что бы не путать с расстоянием межу точками в пространстве и подчеркнуть что это расстояние в четырехмерном пространстве-времени, называют интервалом. Но не менее часто вместо интервала используют и термин расстояние. Правило вычисления расстояний в пространстве называется метрикой. Этот термин часто встречается в книжках по ТО. Зная метрику можно определить все остальные свойства пространства.
Б: Ну, меня можно особенно не убеждать, что пространство и время - не пустые абстракции. По-моему пространство дано вполне наглядно, даже не знаю,какие тут могут быть сомнения в смысле его реального существования. Да и время тоже: когда говорят, что прошел один час (или - много времени, например), то всегда имеют в виду нечто предельно конкретное:)
A: Это хорошо. Главное понять, что и кривое 4х-мерное пространство-время также не пустая абстракция.
Пойдем дальше. Свободное движение тел происходит по геодезическим в 4х-мерном пространстве-времени. Вот мы бросаем камень, и видим, что его траектория есть парабола, довольно кривая. Значит ли, что пространство так сильно искривлено. Разумеется, нет. Когда мы говорим о траектории камня, то описываем ее в обычном трехмерном пространстве. Как же ее можно представить геодезической в 4х-мерном пространстве-времени. Сначала надо отметить, что «ось» времени измеряется в одних единицах, о «оси» координат в других. Это неудобно и неправильно. Поэтому по оси времени и в ОТО и в пространстве Минковского откладывают произведение скорости света на время: t*c. Пусть камень летел 2 сек, тогда его смещение по «оси» времени составило 2*300000км=600000000м, а по чисто пространственным координатам – 5м. Т.е. отличие его траектории от прямой составляет примерно 0,00000001%. Т.е. траектории тел в поле тяготения Земли выглядят кривыми только в обычном пространстве, а в 4х-мерном пространстве-времени они почти прямые, т.к. поле тяготения Земли не велико и приводит к небольшим искривлениям.
Из данной точки можно бросить камень с разной скоростью и в разных направлениях, соответственно он будет двигаться по разным геодезическим. Т.е. геодезическая задается начальной точкой и направлением. Это как раз легко представить, взяв к примеру сферу. На ней геодезические – дуги большого круга, их легко получить натягивая нитку между двумя точками. Легко видеть, что через одну точку можно провести сколько угодно геодезических. Что бы задать одну из них, надо указать направление.
Когда мы говорим, что тело двигается вдоль траектории в обычном пространстве, то рассматриваем это движение одновременно во времени. Не совсем такая ситуация в 4х-мерном пространстве-времени. Там время уже входит в систему координат. Но движение по геодезической удобно характеризовать часами, связанными с телом, т.е. с часами показывающими собственное время. Это собственное время умноженное на скорость света и даст длину геодезической в 4х-мерном пространстве-времени.
Также небезынтересно отметить, что длина геодезической (как и любая длина) вычисляется с помощью метрики. Но уже метрика плоского пространства Минковского выглядит необычно, еще интереснее она в 4х-мерном пространстве-времени. Но и там и там свет распространяется по геодезическим нулевой длины. Что впрочем, не очень странно, т.к. при скорости света время останавливается.
В плоском пространстве Минковского, связанным с локальными ИСО все геодезические, естественно прямые, т.к. пространство плоское.
Таким образом, движение любых объектов в поле тяготения может быть с успехом описано как движение по геодезическим в искривленном 4х-мерном пространстве-времени. Что-то подобное чисто математически можно сделать и с теорией тяготения Ньютона. Но в ней описывается только движение тел, тогда как в ОТО описывается еще и движение ЭМ излучения. Локальные ИСО в ОТО подчиняются всем законам СТО включая все ее эффекты, в том числе такие как замедление времени, сокращение длины, относительность одновременности. При небольших величинах гравитационных полей, типа притяжения Земли, разница между предсказаниями теории Ньютона и ОТО составляет миллионные доли процента. Как мы выше видели, 4х-мернре пространство-время вблизи Земли почти плоское.
Б: "Но и там и там свет распространяется по геодезическим нулевой длины. Что впрочем, не очень странно, т.к. при скорости света время останавливается". Если не считать довольно странным, что при скорости света время останавливается:) Вообще, у меня такое впечатления, что эта скорость света еще немало сюрпризов физикам преподнесет.
A: Преподнесет. Только пока никто даже не догадывается когда и какие:)
Что вызывает искривление. Собственно это и был самый сложный вопрос, который пришлось решить Эйнштейну при создании ОТО. Но ответ очень простой. Искривление вызывается массой. А масса равна энергии (или энергия массе). Я пишу равна, хотя формула обычно пишется так: E=mc2 (Энергия = масса умножить на квадрат скорости света). Но ведь всегда можно выбрать такие единицы измерения, в которых скорость света равна с=1. Так кстати очень часто и делают в физике, т.к. многие формулы становятся проще. Короче: масса и энергия – это одно и тоже (как Ленин и Партия у Маяковского). (Эта формула обсуждалась в части 3)
В общем, основное уравнение ОТО и есть связь массы-энергии с кривизной пространства-времени. Но ведь и теория тяготения Ньютона говорит о том, что одно массивное тело притягивает другое, т.е. что масса создает гравитационное поле. А разница вот в чем. В теории Ньютона само гравитационное поле массой не обладает. Но ведь уже в теории Ньютона гравитационное поле обладает энергией. У Эйнштейна гравитация, обладая энергией, обладает и массой и создает гравитацию. Т.е. уравнения Ньютона линейны, а Эйнштейна НЕлинейны: У Ньютона если взять одну массу и другую массу, то притяжение к двум массам будет равно сумме притяжений к каждой из масс по отдельности. У Эйнштейна не так: еще войдет зависимость взаимодействия этих масс друг с другом.
Поэтому решить уравнения Эйнштейна довольно сложно. Многие их решения были найдены только спустя десятилетия. Поиску этих решений посвятили не малую часть своей научной деятельности многие видные ученые, таки как, например, Стивен Хокинг.
Разумеется, в слабых гравитационных полях, характерных для Солнечной системы, эти эффекты малы.
Б: Не совсем понял про равенство массы и энергии, и почему "всегда можно выбрать такие единицы измерения, в которых скорость света равна с=1".
A: Вот смотрите, бывают безразмерные величины, которые есть обычно отношение величин одинаковой размерности. Например, отношение расстояний Земли и Марса до Солнца. Это будет одна и та же величина (числовое значение) независимо от того, в чем будут измеряться эти расстояния: в километрах, метрах, ярдах, футах. А есть величины размерные. Например, скорость, которая есть расстояние, деленное на время. Если у тела одна и та же скорость, то величина (числовое значение) скорости будет разной в зависимости от выбора единиц измерения: км/час, м/с, мили/час. Единицы измерения – есть чистый произвол (выбор) человека, поэтому помимо общепринятых единиц всегда можно использовать любые. Выбором единиц измерения можно существенно облегчить себе жизнь. Вот, например, морская миля, если вы сместитесь на север на одну милю, то сместитесь на одну минуту широты. Карты размечены в градусах и минутах. Но эти минуты и есть мили – очень удобно. В ТО очень удобно выбрать такие единицы, в которых скорость света =1. Если время измерять в секундах, то единицей длины будет расстояние, проходимое светом за 1 секунду.
Но дело не только в удобстве. Если вы видите, что две величины связанны размерным постоянным коэффициентом, то соответствующим выбором единиц измерения для этого коэффициента его всегда можно сделать =1. Поэтому эти величины есть просто одно и тоже, так как значение коэффициента выражает только наш произвол (и исторически сложившиеся привычки) в выборе единиц измерения.
Так и с массой и энергией – это просто одно и тоже. Это один и самых важных результатов СТО! Любая энергия есть масса и поэтому обладает инерцией и свойством участвовать в гравитационных взаимодействиях.
Б: Про искривление я понял так, что его создают гравитационные поля.
A: Не совсем так: искривление и есть гравитационное поле – это просто разные названия одного и того же.
Искривление создают массы. Масса Солнца так искривляет пространство-время, что Земля свободно движется в нем по кругу (в обычном пространстве). А масса Солнца состоит из массы составляющих его частиц и из массы энергии их взаимодействия. А энергия (масса) взаимодействия состоит из ЭМ взаимодействия, ядерного и гравитационного, ведь частицы внутри Солнца также гравитационно притягиваются друг к другу. Поэтому энергия гравитационного взаимодействия сама создает гравитационное взаимодействие. Для Солнца этот эффект очень мал, а вот для более плотных или более массивных объектов он может быть заметен.
Пока все! Если у кого-то появятся вопросы, предложения, замечания, то я постараюсь их учесть.
Часть 1
Часть 2
Часть 3
Часть 4
A: Хотелось бы коснуться еще нескольких моментов ОТО, которые часто приходится слышать: искривление пространства-времени, метрика, черные дыры и т.п. Поэтому попробую пояснить смысл этих терминов.
Кривизна пространства времени есть по существу проявление требования локальности для ИСО. Т.е. в каждой соседней точке отсчета мы должны выбирать свою ИСО и эти ИСО двигаются по разному, т.к. гравитационное поле неоднородно. Но описывать явления через бесконечно большое количество маленьких ИСО крайне неудобно. Хотя в каждой такой ИСО пространство-время является пространством Минковского, которое не имеет кривизны. Поэтому хотелось бы ввести некую более-менее глобальную систему координат, которая бы позволяла описывать явления, которые не ограничены размерами локальной ИСО. Собственно, ОТО и решает эту задачу, опираясь на принцип эквивалентности. Т.е. ОТО использует НЕинерциальные СО и произвольные системы координат (напомню, что под координатами везде и всюду понимаются три пространственные и одна временная). Тут абсолютному пространству и абсолютному времени приходит окончательный конец. Законы природы формулируются в таком виде, что бы их можно было использовать в любой СО с любой системой координат.
Давайте остановимся на том, что есть кривизна. Будем рассматривать поверхности, т.к. вообразить трех или четырех мерное искривленное многообразие достаточно трудно. Давайте разберем, что такое плоское, а что такое кривое. Решение этой проблемы связано с именами Эвклида, Гаусса, Лобачевского, Римана. Эвклид создал давно-давно свою геометрию, да еще как создал – она на протяжении тысяч лет являлась примером для подражания при построении дедуктивных систем. Среди всех положений Эвклида, которые лежат в основе его геометрии и не требуют доказательств, выделялся постулат о параллельных. Этот постулат можно сформулировать разным способом: "к данной прямой через точку вне этой прямой можно провести только одну параллельную прямую" или "если две прямые пересекают третью под одним и тем же углом, то они параллельны, т.е. не пересекаются)" или "сумма углов треугольника равна двум прямым (180 градусов)" и т.д. Этот постулат в любой формулировке в отличие от других не выглядит интуитивно понятным. Поэтому многие математики пытались его доказать, но у них ничего не получилось. Лобачевский отвергнул его, положив, что "к данной прямой через данную точку можно провести много параллельных", или, что тоже самое "сумма углов треугольника меньше двух прямых". Риман отвергнул его в другую сторону: "к данной прямой невозможно провести ни одной параллельной" или "сумма углов треугольника больше двух прямых". Оба построили законченную геометрию. В трехмерном пространстве легко представить себе поверхности, на которой будут выполняться эти три геометрии, рис.15. Геометрия Эвклида реализуется на плоской поверхности, рис.15а. Геометрия Римана на поверхности с положительной кривизной (выпуклой), рис.15b. Геометрия Лобачевского – на поверхности с отрицательной кривизной (седло), рис.15c. В этом всякий может легко на опыте убедиться. Особенно легко с выпуклой поверхностью: берем мячик или глобус и начинаем рисовать на нем треугольники и параллельные прямые.
Рис.15. Треугольники на поверхностях разной кривизны.
Остался еще один маленький вопрос: что такое прямая на кривой поверхности (или в кривом пространстве). Ответ: эта линия соединяющая по кратчайшему пути две точки. Возьмите глобус, на нем две точки и натяните между ними нитку: эта нитка и будет прямой на сфере. Меридианы и экватор являются прямыми на глобусе, параллели – уже не являются. (Параллели вроде бы параллельны, но они не прямые, т.к. не соединяют две точки по кратчайшему пути). О прямой на кривой поверхности говорить как-то неудобно, поэтому термин "прямая" обычно заменяют термином геодезическая.
На рис.15 поверхности разной кривизны изображены как бы снаружи, с точки зрения трехмерного пространства. А можно ли определить кривизну не выходя за пределы того, кривизну чего мы хотим определить. Вполне можно. Опять рассмотрим примеры кривой поверхности (т.е. двухмерного объекта, т.к. при большем числе измерений все усложняется, хотя суть дела остается той же). Рассмотрим Землю. Возьмем 4 города: Мурманск, Афины, Томск, Казань. Определим расстояния между ними (по геодезическим, естественно). Построим 3 треугольника на плоском листе бумаги, рис.16. Убедимся, что не получается: какой-либо город оказывается в двух местах. Вывод: Земля не плоская. Впрочем, этот вывод был сделан давно, и для этого совсем не понадобилось лететь в космос и смотреть на Землю извне. Но если мы возьмем города поближе, то треугольники совпадут гораздо лучше. Поэтому на малых масштабах поверхность Земли можно считать плоской. Сразу виден аналог с локальными СО, и здесь и там плоская геометрия наблюдается только локально в малой области.
Рис.16. Треугольники между городами.
Какое же отношение все это имеет к ОТО. Возьмем СО, связанную с телом, которое находится далеко от источников тяготения. В этой ИСО все свободные тела (т.е. те, на которые не действуют силы) двигаются согласно закону инерции и бесчисленным опытным данным равномерно и прямолинейно. Прямолинейно означает, что они двигаются по прямой в обычном трехмерном пространстве, а равномерно означает, что они еще и двигаются по прямой в четырехмерном пространстве-времени. Т.е. тела двигаются по геодезическим в пространстве Минковского.
Перейдем теперь в поле тяготения. В ОТО показано, что тела продолжают двигаться в пространстве-времени по геодезическим, но эти геодезические уже не являются прямыми, поэтому пространство-время искривлено. Как и в случае с поверхностью Земли, в малых масштабах в области локальной ИСО пространство плоское. Но глобально пространство время кривое. Таким образом, мы воспринимаем свободное движение тел в неплоском пространстве-времени как тяготение. Объяснение тяготения свойством пространства-времени очень плодотворно. Это сразу приводит к независимости движения от массы тела. Действительно, все равно, какая масса тела – любое тело свободно движется по геодезической. И это выполняется как в ИСО свободной от тяготения, так и в локальной ИСО, связанной с каким либо свободно движущимся телом, так и в произвольной СО. Только в первых двух случаях пространство-время плоское и геодезические есть прямые, а в третьем случае пространство-время искривлено.
Наличие кривизны у поверхности Земли в принципе можно померить. Однако, по расчетам радиус этой кривизны составляет около одного светового года, т.е. в 1.5 млрд. раз больше радиуса Земли. Измерить такую малую кривизну практически невозможно.
Приведу еще один пример, достаточно условный, но иллюстрирующий, как геометрия может влиять на движение. Возьмем плоскость и запустим на ней два тела параллельно друг другу. Они так и будут продолжать свободно двигаться по параллельным траекториям, рис.17a. Возьмем опять поверхность сферы, и проделаем тот же опыт, рис.17b. И вдруг обнаружим, что тела начинают приближаться друг к другу. Это можно интерпретировать как возникновение притяжения между ними.
Рис.17. "Параллельное" движение на поверхностях разной кривизны.
Таким образом, ОТО, перейдя от локальных ИСО к глобальному описанию, получила искривленное пространство-время, в котором все тела движутся по кратчайшим расстояниям, т.е. геодезическим. Локально всегда можно выбрать ИСО с плоским пространством Минковского.
Б: В принципе сам принцип кривизны мне понятен, как я понял он является прямым следствием выбора локальных систем координат, потому что если бы не было кривизны, то и необходимости в локальных системах и не было.
A: Совершенно верно. Два плоских пространства можно совместить глобально. Кривое и плоское – только локально. Это легко проверить, возьмите лист бумаги – его можно глобально (весь) совместить с другим листом, а совместить с шаром можно только в точке или линии (если изогнуть), т.е. локально.
Б: Но ведь само понятие кривизны было сформулировано после требования локальности? Я его вижу как следствие.
A: В какой-то мере – да. Требование локальности будет выполняться и в случае глобальных СО. То, что действительно не удается построить глобальные ИСО и есть свидетельство кривизны.
Посмотрим еще раз на рис.14. Видно, что требование локальности связанно с разным направлением действия силы тяготения в разных местах. В идеале требование локальности приводит к тому, что локальная ИСО должна иметь бесконечно малые размеры. Но на практике используют конечные ИСО, пренебрегая малыми отклонениями от плоскостности. Также, как мы, рассматривая ограниченные участки Земли, пренебрегаем ее шарообразной формой и считаем их плоскими.
Если же мы будем рассматривать ИСО вдали от крупных масс, где нет сил тяготения – то эта система может быть очень-очень большой. Чем меньше искривлено пространство-время, тем больше могут быть размеры локальной ИСО, когда эффекты кривизны не сказываются.
A: Иногда думают, что пространство Минковского и тем более кривое пространство-время ОТО это некие чисто математические абстракции, которые просто удобны для физико-математической формулировки некоторых законов природы. Это не так. Собственно пространство образуется различными расстояниями, которые измеряются с помощью различных измерительных приборов: линеек, по времени распространения ЭМ волн и т.д. Время – это различные длительности, измеряемые часами разного устройства, т.е. не что иное, как, определенное число некоторых изменений. Под измерениями понимается не только и не столько сознательные действия наблюдателя, но в основном просто природные процессы, связанные с различными соотношениями между расстояниями и длительностями. Например, Земля и Марс вращаются вокруг Солнца. Соотношение между их расстояниями до Солнца так же, как и соотношение между периодами их обращения имеет место быть независимо от того измеряет их кто-нибудь или нет.
Когда говорят, что время в ТО замедляется, то это опять-таки не просто математический трюк. Это означает, что одни часы идут медленнее, чем в точности такие же. Продольные расстояния уменьшаются - тоже означает, что измерение тем же способом расстояния будут давать меньшее значение. Казалась бы, ну в чем проблема: какие-то результаты измерений расстояний поменялись, а какие-то часы замедлились. Почему все остальное должно зависеть от результатов этих измерений? А вот почему. В основу ТО положено следующее утверждение: ВСЕ законы природы ОДИНАКОВЫ во всех ИСО (поэтому и нельзя указать абсолютную ИСО, поэтому можно выбрать любую ИСО и рассматривать любые процессы относительно ее). Этот положение пока никем экспериментально не опровергнуто. Но что получается, пусть у нас замедлились какие-то часы. Все остальные часы, неподвижные относительно данных также должны пропорционально замедлиться. Напомню, что часы – это любой процесс изменений во времени, в том числи и, например, старение организма. Если бы такого синхронного замедления всех процессов не происходило, то это бы автоматически привело бы к неодинаковости законов в различных ИСО и позволило бы придумать (и осуществить) эксперименты по установлению абсолютной СО, типа таких, которые проводились с целью определения скорости Земли относительно эфира.
Аналогичная ситуация происходи и с сокращением длины. Не просто длина какого-то стержня сокращается, все длины изменяться пропорционально. В искривленном пространстве-времени все также: часы идут по-разному, измерения расстояний (четырехмерных!) приводит к тому, что теоремы плоской геометрии не выполняются.
В четырехмерном пространстве-времени точка обозначает не точку в пространстве, а событие, т.е., что нечто произошло в данном месте в данное время. Расстояние между двумя событиями, что бы не путать с расстоянием межу точками в пространстве и подчеркнуть что это расстояние в четырехмерном пространстве-времени, называют интервалом. Но не менее часто вместо интервала используют и термин расстояние. Правило вычисления расстояний в пространстве называется метрикой. Этот термин часто встречается в книжках по ТО. Зная метрику можно определить все остальные свойства пространства.
Б: Ну, меня можно особенно не убеждать, что пространство и время - не пустые абстракции. По-моему пространство дано вполне наглядно, даже не знаю,какие тут могут быть сомнения в смысле его реального существования. Да и время тоже: когда говорят, что прошел один час (или - много времени, например), то всегда имеют в виду нечто предельно конкретное:)
A: Это хорошо. Главное понять, что и кривое 4х-мерное пространство-время также не пустая абстракция.
Пойдем дальше. Свободное движение тел происходит по геодезическим в 4х-мерном пространстве-времени. Вот мы бросаем камень, и видим, что его траектория есть парабола, довольно кривая. Значит ли, что пространство так сильно искривлено. Разумеется, нет. Когда мы говорим о траектории камня, то описываем ее в обычном трехмерном пространстве. Как же ее можно представить геодезической в 4х-мерном пространстве-времени. Сначала надо отметить, что «ось» времени измеряется в одних единицах, о «оси» координат в других. Это неудобно и неправильно. Поэтому по оси времени и в ОТО и в пространстве Минковского откладывают произведение скорости света на время: t*c. Пусть камень летел 2 сек, тогда его смещение по «оси» времени составило 2*300000км=600000000м, а по чисто пространственным координатам – 5м. Т.е. отличие его траектории от прямой составляет примерно 0,00000001%. Т.е. траектории тел в поле тяготения Земли выглядят кривыми только в обычном пространстве, а в 4х-мерном пространстве-времени они почти прямые, т.к. поле тяготения Земли не велико и приводит к небольшим искривлениям.
Из данной точки можно бросить камень с разной скоростью и в разных направлениях, соответственно он будет двигаться по разным геодезическим. Т.е. геодезическая задается начальной точкой и направлением. Это как раз легко представить, взяв к примеру сферу. На ней геодезические – дуги большого круга, их легко получить натягивая нитку между двумя точками. Легко видеть, что через одну точку можно провести сколько угодно геодезических. Что бы задать одну из них, надо указать направление.
Когда мы говорим, что тело двигается вдоль траектории в обычном пространстве, то рассматриваем это движение одновременно во времени. Не совсем такая ситуация в 4х-мерном пространстве-времени. Там время уже входит в систему координат. Но движение по геодезической удобно характеризовать часами, связанными с телом, т.е. с часами показывающими собственное время. Это собственное время умноженное на скорость света и даст длину геодезической в 4х-мерном пространстве-времени.
Также небезынтересно отметить, что длина геодезической (как и любая длина) вычисляется с помощью метрики. Но уже метрика плоского пространства Минковского выглядит необычно, еще интереснее она в 4х-мерном пространстве-времени. Но и там и там свет распространяется по геодезическим нулевой длины. Что впрочем, не очень странно, т.к. при скорости света время останавливается.
В плоском пространстве Минковского, связанным с локальными ИСО все геодезические, естественно прямые, т.к. пространство плоское.
Таким образом, движение любых объектов в поле тяготения может быть с успехом описано как движение по геодезическим в искривленном 4х-мерном пространстве-времени. Что-то подобное чисто математически можно сделать и с теорией тяготения Ньютона. Но в ней описывается только движение тел, тогда как в ОТО описывается еще и движение ЭМ излучения. Локальные ИСО в ОТО подчиняются всем законам СТО включая все ее эффекты, в том числе такие как замедление времени, сокращение длины, относительность одновременности. При небольших величинах гравитационных полей, типа притяжения Земли, разница между предсказаниями теории Ньютона и ОТО составляет миллионные доли процента. Как мы выше видели, 4х-мернре пространство-время вблизи Земли почти плоское.
Б: "Но и там и там свет распространяется по геодезическим нулевой длины. Что впрочем, не очень странно, т.к. при скорости света время останавливается". Если не считать довольно странным, что при скорости света время останавливается:) Вообще, у меня такое впечатления, что эта скорость света еще немало сюрпризов физикам преподнесет.
A: Преподнесет. Только пока никто даже не догадывается когда и какие:)
Что вызывает искривление. Собственно это и был самый сложный вопрос, который пришлось решить Эйнштейну при создании ОТО. Но ответ очень простой. Искривление вызывается массой. А масса равна энергии (или энергия массе). Я пишу равна, хотя формула обычно пишется так: E=mc2 (Энергия = масса умножить на квадрат скорости света). Но ведь всегда можно выбрать такие единицы измерения, в которых скорость света равна с=1. Так кстати очень часто и делают в физике, т.к. многие формулы становятся проще. Короче: масса и энергия – это одно и тоже (как Ленин и Партия у Маяковского). (Эта формула обсуждалась в части 3)
В общем, основное уравнение ОТО и есть связь массы-энергии с кривизной пространства-времени. Но ведь и теория тяготения Ньютона говорит о том, что одно массивное тело притягивает другое, т.е. что масса создает гравитационное поле. А разница вот в чем. В теории Ньютона само гравитационное поле массой не обладает. Но ведь уже в теории Ньютона гравитационное поле обладает энергией. У Эйнштейна гравитация, обладая энергией, обладает и массой и создает гравитацию. Т.е. уравнения Ньютона линейны, а Эйнштейна НЕлинейны: У Ньютона если взять одну массу и другую массу, то притяжение к двум массам будет равно сумме притяжений к каждой из масс по отдельности. У Эйнштейна не так: еще войдет зависимость взаимодействия этих масс друг с другом.
Поэтому решить уравнения Эйнштейна довольно сложно. Многие их решения были найдены только спустя десятилетия. Поиску этих решений посвятили не малую часть своей научной деятельности многие видные ученые, таки как, например, Стивен Хокинг.
Разумеется, в слабых гравитационных полях, характерных для Солнечной системы, эти эффекты малы.
Б: Не совсем понял про равенство массы и энергии, и почему "всегда можно выбрать такие единицы измерения, в которых скорость света равна с=1".
A: Вот смотрите, бывают безразмерные величины, которые есть обычно отношение величин одинаковой размерности. Например, отношение расстояний Земли и Марса до Солнца. Это будет одна и та же величина (числовое значение) независимо от того, в чем будут измеряться эти расстояния: в километрах, метрах, ярдах, футах. А есть величины размерные. Например, скорость, которая есть расстояние, деленное на время. Если у тела одна и та же скорость, то величина (числовое значение) скорости будет разной в зависимости от выбора единиц измерения: км/час, м/с, мили/час. Единицы измерения – есть чистый произвол (выбор) человека, поэтому помимо общепринятых единиц всегда можно использовать любые. Выбором единиц измерения можно существенно облегчить себе жизнь. Вот, например, морская миля, если вы сместитесь на север на одну милю, то сместитесь на одну минуту широты. Карты размечены в градусах и минутах. Но эти минуты и есть мили – очень удобно. В ТО очень удобно выбрать такие единицы, в которых скорость света =1. Если время измерять в секундах, то единицей длины будет расстояние, проходимое светом за 1 секунду.
Но дело не только в удобстве. Если вы видите, что две величины связанны размерным постоянным коэффициентом, то соответствующим выбором единиц измерения для этого коэффициента его всегда можно сделать =1. Поэтому эти величины есть просто одно и тоже, так как значение коэффициента выражает только наш произвол (и исторически сложившиеся привычки) в выборе единиц измерения.
Так и с массой и энергией – это просто одно и тоже. Это один и самых важных результатов СТО! Любая энергия есть масса и поэтому обладает инерцией и свойством участвовать в гравитационных взаимодействиях.
Б: Про искривление я понял так, что его создают гравитационные поля.
A: Не совсем так: искривление и есть гравитационное поле – это просто разные названия одного и того же.
Искривление создают массы. Масса Солнца так искривляет пространство-время, что Земля свободно движется в нем по кругу (в обычном пространстве). А масса Солнца состоит из массы составляющих его частиц и из массы энергии их взаимодействия. А энергия (масса) взаимодействия состоит из ЭМ взаимодействия, ядерного и гравитационного, ведь частицы внутри Солнца также гравитационно притягиваются друг к другу. Поэтому энергия гравитационного взаимодействия сама создает гравитационное взаимодействие. Для Солнца этот эффект очень мал, а вот для более плотных или более массивных объектов он может быть заметен.
Пока все! Если у кого-то появятся вопросы, предложения, замечания, то я постараюсь их учесть.